lunes, 10 de octubre de 2011

George Green


George Green


George Green nació en julio de 1793 en Sneinton, Nottingham, Inglaterra. Trabajo en la panadería de su padre desde temprana edad y aprendió solo matemáticas de los libros, de la biblioteca. En 1828 publico de manera privada la obra “An Essay on the Theories of Electricity and Magnetism”, pero solo se imprimieron 100 copias. Publicación que contenía lo que equivale ahora como teorema de Green, pero no se difundió en esa época. Por ultimo se inscribió en la Universidad Cambridge a los 40 años, pero murió 4 años después de graduarse. Green fue la primera persona que trato de formular una teoría matemática de la electricidad y el magnetismo.




Teorema de Green
Sea C una curva en el plano cerrada, sencilla, suave a segmentos y orientada positivamente, sea D la región acotada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contienen a D, entonces.


El Teorema de Green aceptas otras expresiones alternativas por medio de las propiedades de los campos vectoriales.

1era. Forma Vectorial de Green.
Sea F es un campo vectorial plano de la forma:
F (x , y) = (P(x, y) , Q(x , y))
Su rotacional se calcula de la siguiente forma:

Luego efectuando el producto punto (rot F).k , tenemos:


Además si observamos:


Así tenemos que el Teorema de Green admite esta representación vectorial:


Esto es:




2da. Forma vectorial de Green.

Antes de presentar esta tercera versión del Teorema de Green, definamos el vector normal unitario exterior a la curva (con orientación positiva) que es frontera de una región D del plano.

Vector normal unitario exterior a una curva.


Sea C: [a , b] à R2 , t à c(t) = (x(t) , y(t)) una parametrización orientada positivamente de la frontera MD de una región D en R2, entonces n viene dada por:
  
Entonces:
Sea F(x , y) = (P(x(t) , y(t)) , Q(x(t) , y(t)) ), entonces por la definición de integral de línea tenemos:









Esto es:




Que es lo mismo que:


 Reorganizando los sumandos del integrando, tenemos:


Aplicando el Teorema de Green en la segunda parte de la integral anterior tenemos:

  
 Recordando que la divergencia de F es:

  
 Finamente tenemos:




Bibliografía

-          Calculo (Conceptos y Contextos), James Stewart.

-          An Essay on the Theories of Electricity and Magnetism, George Green.

-          http://es.wikipedia.org/wiki/George_Green


Carl Friedrich Gauss

(30 de abril de 1777, Brunswick23 de febrero de 1855, Göttingen):
Fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Gauss fue un niño prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente y completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.
SUS OBRAS
Las contribuciones de Gauss a las matemáticas van desde la más pura teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Realizó grandes aportaciones en todas las ramas de las matemáticas en las que trabajó. Llegó a publicar alrededor de 155 títulos, sin embargo se caracterizó por no presentar los trabajos que no creyera haber pulido hasta la perfección.
Dejando de lado las curiosas anécdotas de su infancia, la primera aportación de Gauss a las matemáticas fue la construcción del polígono regular de 17 lados. Los primeros en tratar el tema, la escuela geométrica ligada a Pitágoras, Eudoxo, Euclides y Arquímedes, impusieron para las construcciones geométricas la condición de que sólo podría utilizarse regla y compás. Gauss no sólo logró la construcción del polígono de 17 lados, también encontró la condición que deben cumplir los polígonos que pueden construirse por este método: El número de sus lados ha de ser potencia de dos o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado números primos de Fermat. Gauss demostró este teorema combinando un razonamiento algebraico con otro geométrico. Esta técnica utilizada para la demostración, se ha convertido en una de las más usadas en matemáticas: trasladar un problema desde un dominio inicial ( la geometría en este caso) a otro (álgebra) y resolverlo en este último. 

En el mundo del magnetismo:
A partir de 1831 comenzó a trabajar con el físico Wilhelm Weber en la investigación teórica y experimental del magnetismo Ambos inventaron un magnetómetro y organizaron en Europa una red de observaciones para medir las variaciones del campo magnético terrestre. Gauss pudo demostrar el origen del campo estaba en el interior de la tierra. Gauss y Weber trabajaron también con las posibilidades del telégrafo, el suyo, fue probablemente el primero que funcionó de manera práctica, adelantándose en 7 años a la patente de Morse.  Después de su muerte se supo que Gauss había encontrado la doble periodicidad de las funciones elípticas.

Gauss se encuentra entre los primeros en dudar de que la geometría euclídea fuese inherente a la naturaleza humana. El axioma de las paralelas, básico en la geometría euclídea, había sido objeto de estudio a lo largo de siglos, intentándose demostrar a partir de los restantes axiomas de Euclides sin resultado alguno. Algunas de sus anotaciones hacen ver que Gauss pensaba que podría existir una geometría en la que no se verificase el axioma de las paralelas. En 1820, Janos Bolyai, llegó a la conclusión de que la demostración del teorema de las paralelas era imposible y comenzó a utilizar una nueva geometría que no utilizara el axioma de Euclides. Tres años más tarde publicó sus resultados, estos fueron acogidos de manera muy fría por el propio Gauss, señalando que él ya había llegado a esas conclusiones muchos años antes.

La característica principal de la obra de Gauss, especialmente en matemática pura es haber razonado con lo particular como si fuera general.

Bibliografia:
www.wikipedia.org
www.portalplanetasedna.com.ar





CIENTÍFICOS DEL SIGLO XVIII

Charles François de Cisternay Du Fay
Si una barra de ámbar (de caucho o de plástico) se frota con un paño de lana, se electriza. Lo mismo sucede si una varilla de vidrio se frota con un paño de seda. Aun cuando ambas varillas pueden atraer objetos ligeros, como hilos o trocitos de papel, la propiedad eléctrica adquirida por frotamiento no es equivalente en ambos casos.
Así, puede observarse que dos barras de ámbar electrizadas se repelen entre sí, y lo mismo sucede en el caso de que ambas sean de vidrio. Sin embargo, la barra de ámbar es capaz de atraer a la de vidrio y viceversa.





Benjamín Franklin
Su afición por los temas científicos dio comienzo a mediados del siglo XVIII, y coincidió con el comienzo de su actividad política. Estuvo claramente influido por científicos coetáneos como Isaac Newton, o Joseph Addison (especialmente sus obras Ensayo sobre el entendimiento de Locke y El espectador). En 1743 es elegido presidente de la Sociedad Filosófica Estadounidense.

A partir de 1747 se dedicó principalmente al estudio de los fenómenos eléctricos. Enunció el Principio de conservación de la electricidad. De sus estudios nace su obra científica más destacada, Experimentos y observaciones sobre electricidad. En 1752 lleva a cabo en Filadelfia su famoso experimento con la cometa. Ató una cometa con esqueleto de metal a un hilo de seda, en cuyo extremo llevaba una llave también metálica. Haciéndola volar un día de tormenta, confirmó que la llave se cargaba de electricidad, demostrando así que las nubes están cargadas de electricidad y los rayos son descargas eléctricas. Gracias a este experimento creó su más famoso invento, el pararrayos. A partir de ahí, se instalaron por todo el estado (había ya 400 en 1782), llegando a Europa en la década de los '60. 
Presentó la teoría del fluido único (ésta afirmaba que cualquier fenómeno eléctrico era causado por un fluido eléctrico, la "electricidad positiva", mientras que la ausencia del mismo podía considerarse "electricidad negativa") para explicar los dos tipos de electricidad atmosférica a partir de la observación del comportamiento de las varillas de ámbar, o del conductor eléctrico, entre otros Franklin fue un prolífico científico e inventor. Además del pararrayos, inventó también el llamado horno de Franklin o chimenea de Pensilvania (1744), metálico y más seguro que las tradicionales chimeneas; las lentes bifocales, para su propio uso; un humidificador para estufas y chimeneas; uno de los primeros catéteres urinarios flexibles, para tratar los cálculos urinarios de su hermano John; el cuentakilómetros, en su etapa de trabajo en la Oficina Postal; las aletas de nadador, la armónica de cristal... Estudió también las corrientes oceánicas calientes de la costa Este de Norteamérica, siendo el primero en describir la Corriente del Golfo.
En 1756 fue elegido miembro de la prestigiosa Royal Society, y en 1772 la Academia de las Ciencias de París le designó como uno de los más insignes científicos vivos no franceses.




Charles Coulomb


Charles-Augustin de Coulomb (Angulema, Francia, 14 de junio de 1736 - París, 23 de agosto de 1806) fue un físico e ingeniero francés. Se recuerda por haber descrito de manera matemática la ley de atracción entre cargas eléctricas. En su honor la unidad de carga eléctrica lleva el nombre de culombio (C). Entre otras teorías y estudios se le debe la teoría de la torsión recta y un análisis del fallo del terreno dentro de la Mecánica de suelos.


Fue el primer científico en establecer las leyes cuantitativas de la electrostática, además de realizar muchas investigaciones sobre magnetismo ,fricción y electricidad. Sus investigaciones científicas están recogidas en siete memorias, en las que expone teóricamente los fundamentos del magnetismo y de la electrostática. En 1777 inventó la balanza de torsión para medir la fuerza de atracción o repulsión que ejercen entre sí dos cargas eléctricas, y estableció la función que liga esta fuerza con la distancia. Con este invento, culminado en 1785, Coulomb pudo establecer el principio, que rige la interacción entre las cargas eléctricas, actualmente conocido como ley de Coulomb: 

Coulomb también estudió la electrización por frotamiento y la polarización, e introdujo el concepto de momento magnético. El culombio o coulomb (símbolo C), es la unidad derivada del Sistema Internacional de Unidades para la medida de la magnitud física cantidad de electricidad (carga eléctrica). Nombrada en honor de Charles-Augustin de Coulomb.
Fue educado en la École du Génie en Mézieres y se graduó en 1761 como ingeniero militar con el grado de Primer Teniente. Coulomb sirvió en las Indias Occidentales durante nueve años, donde supervisó la construcción de fortificaciones en la Martinica. En 1774, Coulomb se convirtió en un corresponsal de la Academia de Ciencias de París. Compartió el primer premio de la Academia por su artículo sobre las brújulas magnéticas y recibió también el primer premio por su trabajo clásico acerca de la fricción, un estudio que no fue superado durante 150 años.
Durante los siguientes 25 años, presentó 25 artículos a la Academia sobre electricidad, magnetismo, torsión y aplicaciones de la balanza de torsión, así como varios cientos de informes sobre ingeniería y proyectos civiles. Coulomb aprovechó plenamente los diferentes puestos que tuvo durante su vida. Por ejemplo, su experiencia como ingeniero lo llevó a investigar la resistencia de materiales y a determinar las fuerzas que afectan a objetos sobre vigas, contribuyendo de esa manera al campo de la mecánica estructural. Otro aporte de Coulomb es la llamada Teoría de Coulomb para presión de tierras, publicada en 1776, la cuál enfoca diferente el problema de empujes sobre muros y lo hace considerando las cuñas de falla, en las que actúa el muro, además toma en cuenta el ángulo de inclinación del muro y del suelo sobre el muro de contención. También hizo aportaciones en el campo de la ergonomía.
Coulomb murió en 1806, cinco años después de convertirse en presidente del Instituto de Francia (antiguamente la Academia de Ciencias de París). Su investigación sobre la electricidad y el magnetismo permitió que esta área de la física saliera de la filosofía natural tradicional y se convirtiera en una ciencia exacta. La historia lo reconoce con excelencia por su trabajo matemático sobre la electricidad conocido como "Leyes de Coulomb".




Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta




Alessandro Volta nació y fue educado en Como, Italia. Fue hijo de una madre noble y de un padre de la alta burguesía. Recibió una educación básica y media humanista, pero al llegar a la enseñanza superior, optó por una formación científica.

En el año 1774 fue nombrado profesor de física de la Escuela Real de Como. Un año después, Volta realizó su primer invento, un aparato relacionado con la electricidad. Con dos discos metálicos separados por un conductor húmedo, pero unidos con un circuito exterior. De esta forma logra por primera vez, producir corriente eléctrica continua, inventando elelectróforo perpetuo, un dispositivo que una vez que se encuentra cargado, puede transferir electricidad a otros objetos, y que genera electricidad estática. Entre los años 1786 y 1788, se dedicó a la química, descubriendo y aislando el gas de metano. Un año más tarde, en 1789, fue nombrado profesor titular de la cátedra de física experimental en la Universidad de Pavía.
En 1780, un amigo de Volta, Luigi Galvani, observó que el contacto de dos metales diferentes con el músculo de una rana originaba la aparición de corriente eléctrica. En 1794, a Volta le interesó la idea y comenzó a experimentar con metales únicamente, y llegó a la conclusión de que el tejido muscular animal no era necesario para producir corriente eléctrica. Este hallazgo suscitó una fuerte controversia entre los partidarios de la electricidad animal y los defensores de la electricidad metálica, pero la demostración, realizada en 1800, del funcionamiento de la primera pila eléctrica certificó la victoria del bando favorable a las tesis de Volta.
Alessandro Volta comunicó su descubrimiento de la pila a la Royal Society londinense el 20 de marzo de 1800. La comunicación de Volta fue leída en audiencia el 26 de junio del mismo año, y tras varias reproducciones del invento efectuadas por los miembros de la sociedad, se confirmó el descubrimiento y se le otorgó el crédito de éste.
En septiembre de 1801, Volta viajó a París aceptando una invitación del emperador Napoleón Bonaparte, para exponer las características de su invento en el Instituto de Francia. El propio Bonaparte participó con entusiasmo en las exposiciones. El 2 de noviembre del mismo año, la comisión de científicos distinguidos por la Academia de las Cienciasdel Instituto de Francia encargados de evaluar el invento de Volta emitió el informe correspondiente aseverando su validez. Impresionado con la batería de Volta, el emperador lo nombró conde y senador del reino de Lombardía, y le otorgó la más alta distinción de la institución, la medalla de oro al mérito científico. El emperador deAustria, por su parte, lo designó director de la facultad de filosofía de la Universidad de Padua en 1815.
Sus trabajos fueron publicados en cinco volúmenes en el año 1816, en Florencia. Los últimos años de vida los pasó en su hacienda en Camnago, cerca de Como, donde falleció el 5 de marzo de 1827.