George Green

George Green

George Green nació en julio de 1793 en Sneinton, Nottingham, Inglaterra. Trabajo en la panadería de su padre desde temprana edad y aprendió solo matemáticas de los libros, de la biblioteca. En 1828 publico de manera privada la obra “An Essay on the Theories of Electricity and Magnetism”, pero solo se imprimieron 100 copias. Publicación que contenía lo que equivale ahora como teorema de Green, pero no se difundió en esa época. Por ultimo se inscribió en la Universidad Cambridge a los 40 años, pero murió 4 años después de graduarse. Green fue la primera persona que trato de formular una teoría matemática de la electricidad y el magnetismo.

Teorema de Green

Sea C una curva en el plano cerrada, sencilla, suave a segmentos y orientada positivamente, sea D la región acotada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contienen a D, entonces.

El Teorema de Green aceptas otras expresiones alternativas por medio de las propiedades de los campos vectoriales.

1era. Forma Vectorial de Green.

Sea F es un campo vectorial plano de la forma:

F (x , y) = (P(x, y) , Q(x , y))

Su rotacional se calcula de la siguiente forma:

Luego efectuando el producto punto (rot F).k , tenemos:

Además si observamos:

Así tenemos que el Teorema de Green admite esta representación vectorial:

Esto es:

2da. Forma vectorial de Green.

Antes de presentar esta tercera versión del Teorema de Green, definamos el vector normal unitario exterior a la curva (con orientación positiva) que es frontera de una región D del plano.

Vector normal unitario exterior a una curva.

Sea C: [a , b] à R2 , t à c(t) = (x(t) , y(t)) una parametrización orientada positivamente de la frontera MD de una región D en R2, entonces n viene dada por:

  

Entonces:

Sea F(x , y) = (P(x(t) , y(t)) , Q(x(t) , y(t)) ), entonces por la definición de integral de línea tenemos:

 

Esto es:

Que es lo mismo que:

 Reorganizando los sumandos del integrando, tenemos:

Aplicando el Teorema de Green en la segunda parte de la integral anterior tenemos:

  

 Recordando que la divergencia de F es:

  

 Finamente tenemos:

Bibliografía

-          Calculo (Conceptos y Contextos), James Stewart.

-          An Essay on the Theories of Electricity and Magnetism, George Green.

-          http://es.wikipedia.org/wiki/George_Green